علماء يتمكنون من حل أقدم مشكلة في الجبر عمرها 500 سنة
تاريخ النشر: 5th, May 2025 GMT
اكتشف فريق بقيادة عالم رياضيات من جامعة نيو ساوث ويلز في سيدني طريقة جديدة لفك شفرة أقدم تحدٍّ في تخصص الجبر، ألا وهو حل معادلات كثيرات الحدود العليا.
في علم الجبر، فإن المعادلات كثيرات الحدود تتضمن متغيرا مرفوعا لأسس (مثلا س² أو س³)، وقد تم حل المعادلات البسيطة من الدرجة الثانية (مثل س²) منذ عام 1800 قبل الميلاد بواسطة البابليين الذين ابتكروا "طريقة إكمال المربع" .
وفي كتابه "المختصر في حساب الجبر والمقابلة"، وضع الخوارزمي أول قواعد واضحة لحل هذه المعادلات أو التي تطورت إلى الصيغة التربيعية المألوفة لدى عديد من طلاب الرياضيات في المرحلة الثانوية.
وفي القرن الـ16، تم إيجاد طرق لحل المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة، لكن المعادلات من العليا من هذا النوع، أي من الدرجة الخامسة فما فوق (تلك التي تحتوي على متغيرات مثل س⁵ أو أكبر) لم يتم العثور على حل عام لها أبدا.
تُعد هذه المعادلات أساسية في الرياضيات والعلوم، حيث لها تطبيقات واسعة، مثل المساعدة في وصف حركة الكواكب والنجوم أو كتابة برامج الحاسوب، ولذلك فإن حل أعلى مستوياتها سيكون ذا فائدة جمة في تلك النطاقات.
وفي سنة 1832 أثبت عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست غالوا أن الحلول العامة الدقيقة لهذه المعادلات مستحيلة بسبب التعقيد الرياضي فيها، ومنذ ذلك الحين وُضعت حلول تقريبية لكثيرات الحدود من الدرجة الأعلى، وهي تُستخدم على نطاق واسع في التطبيقات، لكن هذه الحلول لا تنتمي إلى الجبر الصرف.
إعلانلكن الرياضياتي نورمان وايلدبرغر وفريقه من جامعة نيو ساوث ويلز في سيدني اكتشفوا طريقة جديدة لحل المعادلات العالية الدرجة، ونشرت النتائج في دراسة بدورية "ذي أميركان ماثيماتيكال مونثلي"
رأى وايلدبرغر أن الطرق التقليدية تعتمد على الجذور (مثل الجذر التربيعي والجذر التكعيبي)، التي عادة ما تنتج أعدادا غير نسبية توقف حل المشكلة، لأن هذه الأعداد لا يمكن حسابها بدقة لأنها تحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام العشرية.
وايلدبرغر اعتمد بدلا من الجذور على ما تُسمى "سلاسل القوى"، وهي معادلات يمكن أن تحتوي على عدد لا نهائي من الحدود من أسس "س"، وهي طريقة ذكية في الرياضيات لكتابة أي دالة (علاقة بين الأرقام) على شكل مجموعة أشياء نجمعها معا.
تخيل مثلا أنك تبني برجا من المكعبات، تضع مكعبا واحدا، ثم تضيف مكعبا أصغر، ثم أصغر، ثم أصغر… وتستمر، وكل مكعب يضيف شيئا بسيطا للبرج. نفس الشيء في سلسلة القوى، حيث تبني الجواب الصحيح خطوة بخطوة عن طريق إضافة أعداد صغيرة فوق بعضها.
بعد ذلك، قام وايلدبرغر -عبر تقطيع تلك السلاسل- من استخراج إجابات عددية تقريبية للتحقق من نجاح الطريقة، ثم جرب الطريقة على معادلات تاريخية معروفة، ونجحت بشكل ممتاز، إحداها كانت معادلة تكعيبية شهيرة استخدمت في القرن الـ17 لإثبات طريقة نيوتن.
تستخدم الطريقة الجديدة متواليات من الأرقام تمثل علاقات هندسية معقدة، تنتمي هذه المتواليات إلى علم التوافقيات، وهو فرع من الرياضيات يتعامل مع أنماط الأرقام في مجموعات من العناصر.
تصف أشهر متوالية توافقية، تُسمى "الأعداد الكتالونية"، عدد الطرق التي يمكنك من خلالها تشريح مضلع، وهو أي شكل بثلاثة أضلاع أو أكثر، إلى مثلثات.
الأعداد الكتالونية هي مجموعة خاصة من الأعداد تظهر عندما نحاول حساب عدد الطرق الممكنة لترتيب أشياء معينة بدون أخطاء، بمعنى آخر، هي أعداد تساعدنا في عدّ كم طريقة ممكنة لحل مشكلات معينة.
إعلانعلى سبيل المثال، تخيل أنك تود تقسيم "بيتزا" مضلعة لها عدة جوانب، فسيكون السؤال: "كم طريقة ممكن تقسيم هذه البيتزا إلى مثلثات بخطوط لا تتقاطع؟".
لو كانت البيتزا لها 3 جوانب، فهناك طريقة واحدة فقط، ولو كانت لها 4 جوانب، فهناك طريقتان (عبر قطري المربع)، ولوكان للبيتزا 5 جوانب، فهناك 5 طرق، وهكذا، هذه الأعداد هي الأعداد الكتالونية!
المصدر: الجزيرة
كلمات دلالية: حريات هذه المعادلات من الدرجة
إقرأ أيضاً:
علماء فلك يرصدون اضطرابًا في المجال المغناطيسي للأرض (تفاصيل)
رصد علماء فلك روس، اضطرابات في المجال المغناطيسي الأرضي، اليوم السبت، بس بعض التغيرات الشمسية، التي لم تصل لذروتها بعد.
وأفاد مختبر علم الفلك الشمسي التابع لمعهد أبحاث الفضاء التابع للأكاديمية الروسية للعلوم، أن هذه الاضطرابات دالة تحدث بسبب تأثير ثقب إكليلي على الشمس، من المُتوقع أن يتجلى بكامله في 12 أكتوبر الأول.
ووفقًا لرسالة نشرت على قناة المختبر في "تلغرام": "هناك حاليًا بعض العواصف، لا توجد عواصف مغناطيسية، ولكن تلاحظ اضطرابات، بالمعنى الدقيق للكلمة، لم يصل الثقب الإكليلي بعد، ولن يصل قبل الغد (ومن غير المرجح أن يصل غدا، والأرجح صباح الاثنين)، ولكن رياحًا شمسية كثيفة عند حدود الثقب تؤثر بالفعل على الأرض".
ومن المُحدّد أن الرياح الشمسية تنتقل بسرعة تفوق سرعة الصوت، وتحرك الغاز أمامها، مما يمنعها من التسرب، ونتيجةً لذلك، تتشكل دائمًا منطقة غازية أكثر كثافة في الوسط بين الكواكب، قبل تدفق البلازما السريع، حيث تصل قبل يوم أو يومين من التدفق الرئيسي.
وأضاف المختبر: "حاليًا، لا يتوقع العلماء تدهورا في الوضع المغناطيسي الأرضي، ويقدرون أن الاضطرابات الحالية ستنتهي خلال ساعتين".
وأردف المختبر: "ننتظر الآن أن تبدأ كثافة الرياح بالازدياد، وكذلك سرعة الرياح، بصراحة، هذا هو التشتيت الشمسي الوحيد خلال اليومين المقبلين، حيث لا تزال مكونات النشاط الأخرى في حالة غيبوبة، ومع ذلك، لن يدوم هذا طويلا".
نحو تأسيس المحكمة الدولية الخاصة لجرائم الحرب في غزة